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量子計算入門(上):從位元到量子位元
・第
15
課
量子邏輯閘(下):量子邏輯閘的特性
作者:
林昱誠(Yu-Cheng Lin)
閱讀時間:
10
分鐘
# Quantum gate 的特性 我們在[古典邏輯閘](https://www.entangletech.tw/lesson/basic-algorithm-04)一節中,提過古典邏輯閘的兩大特性,分別是 universal gates 和 reversible gates。這一節我們將探討 quantum gate 的這兩種特性。 ## Universal gates(通用邏輯閘) 類似古典電腦的概念,量子電腦也有「通用邏輯閘」的概念,即我們能否只用少數幾個 quantum gate 組合出所有的 quantum gate。那麼,什麼樣性質的 quantum gate 可以構成 通用邏輯閘集合呢? 1. 能製造疊加態:首先,必須有 quantum gate 能讓 qubit 表達 Bloch sphere 球面上任何資訊。在所有的 [one qubit gate](https://www.entangletech.tw/lesson/basic-algorithm-08) 中,只有 H gate 能做到 2. 能製造糾纏態:但 one qubit gate 無法製造糾纏態,因此集合中至少需要有能創造糾纏態的 gate,如 CNOT gate 3. 能操作複數機率幅:從 CNOT 和 H gate 的矩陣不難看出,它們對機率幅的影響只限定在實數範圍,無法對虛數做調整,因此至少還需要有個 [phase shift gate](https://www.entangletech.tw/lesson/basic-algorithm-08) 綜合以上,$\{\text{CNOT}, H, S\}$ 是一組可行的通用量子閘集合,這組集合稱作 Clifford group。然而,根據 Gottesman-Knill 理論,這三種 quantum gate 的行為可以很有效地用現在的電腦模擬,意味著,Clifford group 展現出來的計算能力就跟你眼前的電腦一樣,代表 universal quantum gate 還需要再加入其他 quantum gate。 ### universal gate sets 的範例 以下是一些量子電腦的 universal gate 集合: 1. $\{\text{CNOT},\text{所有的 one qubit gate}\}$ 2. $\{\text{CNOT},H,T\}$:跟 Clifford group 很像,只是將 S gate 換成 T gate 3. $\{\text{CNOT},R_{\frac{\pi}{8}},S\}$ 4. $\{\text{Toffoli},H,S\}$ 因此,一臺好的量子電腦,至少至少要能夠做執行這些 gate,然後通過這些 gate 組合出其他所有的 quantum gate。 ## Reversible gates(可逆邏輯閘) 我們前面提及在古典電腦中,大多數邏輯閘是不可逆的,這意味著在計算過程中會丟失訊息,並以熱能的形式散發到環境中。然而 quantum gate 則不同,它們都是 [unitary](https://www.entangletech.tw/lesson/math-07) 矩陣,滿足以下條件: \begin{split} U^{\dagger}U=UU^{\dagger}=I \end{split} 這代表說可以 gate 的輸出值對應為一一個輸入值,不會丟失訊息,也不會消耗能量。 ## No-Cloning Theorem(不可複製理論) 這不算是 quantum gate 的特性,是量子計算的重要性質之一。在經典電腦中,我們可以很輕易地複製某個位元的巡席到另一個位元,然而,在量子計算中,我們無法複製 qubit 的訊息,這就是不可複製理論。 例如,有兩個 qubits,第一個先做 H gate 操作,我想複製第一個 qubit 的量子態到第二個 qubit,讓兩個 qubits 的量子態是一樣的
先對第一個 qubit 做 H gate 操作,接著我們想複製第一個 qubit 的量子態到第二個 qubit
很顯然,就是對第二個 qubit 做 H gate 操作,但這是因為我們已經知道第一個 qubit 做 H gate 後是什麼狀態。
這樣做,就是把第一個 qubit 的狀態複製到第二個 qubit
如果有個 qubit 的量子態 $|\psi\rangle$ 是未知,我們該如何複製他的量子態?即 \begin{split} |\psi\rangle|0\rangle\rightarrow |\psi\rangle|\psi\rangle, \quad \text{其中}\quad |\psi\rangle= \alpha|0\rangle+\beta|1\rangle \end{split} 有沒有什麼 quantum gate $U$ 能讓我們做到這件事,即 \begin{split} U|\psi\rangle|0\rangle=|\psi\rangle|\psi\rangle \end{split}
有什麼量子閘 U 可以把 q0 的量子態複製到 q1
因為這邊涉及 2 個 qubits,所以 $U$ 會是個 $4\times 4$ 的矩陣,將上式以矩陣做描述: \begin{split}U|\psi\rangle|0\rangle&= \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\ u_{21} & u_{22} & u_{23} & u_{24} \\ u_{31} & u_{32} & u_{33} & u_{34} \\ u_{41} & u_{42} & u_{43} & u_{44} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}\otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}=|\psi\rangle|\psi\rangle= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}\otimes \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \\ &=> \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & u_{14} \\ u_{21} & u_{22} & u_{23} & u_{24} \\ u_{31} & u_{32} & u_{33} & u_{34} \\ u_{41} & u_{42} & u_{43} & u_{44} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ 0 \\ \beta \\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \alpha^2 \\ \alpha\beta \\ \alpha\beta \\ \beta^2 \end{bmatrix} \end{split} 把它解開後,可以找到這樣的關係: \begin{split} u_{11}=\alpha & \quad u_{13}=0 & \quad u_{21}=0 \quad u_{23}=\alpha\\ u_{31}=0 & \quad u_{33}=\alpha & \quad u_{41}=0 \quad u_{43}=\beta \end{split} 然而,我們得知道 $\alpha$ 和 $\beta$ 是什麼才能解出需要什麼 gate $U$,而 $\alpha$ 和 $\beta$ 就是未知,因此沒有任何 gate 能讓我們複製一個未知量子態的 qubit。
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