當向量空間的 basis 互相 orthogonal 且長度為 1，這組 basis 就稱作 "orthonormal bases"
範例：
\[ \begin{split} |v\rangle &= (-2,1) = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \\ |b_1\rangle &= (1,0) \\ |b_2\rangle &= (0,1) \end{split} \]則：\(|b\rangle = -2|b_1\rangle + 1|b_2\rangle\)
證明：欲求 $c_n$值，則我們將 $|b_n\rangle$從左邊與 $|v\rangle$做內積
\begin{split} \langle b_n|v\rangle &=\langle b_n|c_1|b_1\rangle+\langle b_n|c_2|b_2\rangle+\ldots+\langle b_n|c_n|b_n\rangle \\ &= c_1\langle b_n|b_1\rangle+c_2\langle b_n|b_2\rangle+\ldots+c_n\langle b_n|b_n\rangle \\ &\text{因為}\langle b_i|b_j\rangle=0 \space\text{與} \langle b_i|b_i\rangle=1\\ &=0+0+\ldots+c_n \\ &=c_n \end{split}
因此我們可以把向量改寫成：
\begin{split}
|v\rangle = \langle b_1|v\rangle|b_1\rangle+\langle b_2|v\rangle|b_2\rangle+\ldots+\langle b_n|v\rangle|b_n\rangle
\end{split}
今天我們如果要計算向量的長度，則（以下省略根號）：
\begin{split}
\langle v|v\rangle &=(c_1^*\langle b_1|+c_2^*\langle b_2|+\ldots+c_n^*\langle b_n|)(c_1|b_1\rangle+c_2|b_2\rangle+\ldots+c_n|b_n\rangle) \\
&\text{為了做簡化，我們這裡以二維空間為例} \\
&= c_1^*c_1\langle b_1|b_1\rangle+c_1^*c_2\langle b_1|b_2\rangle+c_2^*c_1\langle b_2|b_1\rangle+c_2^*c_2\langle b_2|b_2\rangle \\
&=c_1^*c_1+0+0+c_2^*c_2 \\
&=c_1^2+c_2^2
\end{split}
\begin{split} \langle b_n|v\rangle &=\langle b_n|c_1|b_1\rangle+\langle b_n|c_2|b_2\rangle+\ldots+\langle b_n|c_n|b_n\rangle \\ &= c_1\langle b_n|b_1\rangle+c_2\langle b_n|b_2\rangle+\ldots+c_n\langle b_n|b_n\rangle \\ &\text{因為}\langle b_i|b_j\rangle=0 \space\text{與} \langle b_i|b_i\rangle=1\\ &=0+0+\ldots+c_n \\ &=c_n \end{split}
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