量子機器學習 (三) - 關於量子電路架構

# 量子機器學習 (三) - 關於量子電路架構在主流的 QML 中，QNN 的角色是由 PQC 擔任。PQC 的組成，在前面的[量子機器學習(ㄧ)](https://www.entangletech.tw/lesson/qml-00)有稍微提到過，一般而言是使用 rotation gate，像是 $R_X(\theta), R_Y(\theta), R_Z(\theta)$。那什麼樣子組成的 PQC 的能力是最**厲害**的呢？客觀的來說，一個 PQC 能夠做到最厲害的事情就是去表示、近似任意其他可能的量子（[unitary](https://www.entangletech.tw/lesson/math-07)）操作。就如同古典機器學習的 Universal Approximation Theorem（通用近似通用近似定理），如果一個 PQC 是由所謂的 [universal quantum gate sets](https://www.entangletech.tw/lesson/basic-algorithm-14) 構成，那這 PQC 可以藉由有限數目的 quantum gate 去表示其他任意 unitary operation。與目前提過的例子最接近的一組 universal quantum gate sets 的組成有$R_X(\theta), R_Y(\theta),R_Z(\theta), P(\varphi),$ 以及 CNOT gate。其中 $P(\varphi)$ 是 [phase shift gate](https://www.entangletech.tw/lesson/basic-algorithm-08#toc-7)。那至於需要多少個 quantum gate 才夠表示其他任意 unitary 呢？ [Solovay–Kitaev theorem](https://www.wikiwand.com/en/articles/Solovay%E2%80%93Kitaev_theorem) 有給出一個估算，詳情可以點開提供的連結。讀者讀到這裡可能會想說，難道我現在要做一個 PQC 來用 QML 的任務，還要先精確估算我要用幾個 gates ?! 那其實也不一定是這樣的。如同 universal approximation theorem 之於 Neural Architecture Search (NAS)以及機器學習的神經網路架構，在古典的情況下，神經網路模型的架構設計可能是源自於經驗法則去訂出一個初始設計，要追求效能提升的時候再去對神經網路架構做改變與搜索（NAS）。假設一個 PQC 架構，如下：

這樣的架構，或稱 ansatz（擬設）也被稱作 [RealAmplitudes](https://docs.quantum.ibm.com/api/qiskit/qiskit.circuit.library.RealAmplitudes)。實作上，在許多的 QML 相關文章中，circuit block（電路塊）的重複次數 $L$ 大約是在 [$O(N)$](https://arxiv.org/abs/1905.10876) 或是 [$O(N^2)$](https://arxiv.org/abs/2012.09265) 的範圍，其中 $N$ 為 qubits 數目(當然 ansatz 細節可能會有所不同)。有些讀者可能會好奇，現在這些 CNOT gates 是像線性的連接在一起，那能不能連成其他的樣子？答案是可以。像這種固定一塊一塊電路再重複許多次的架構其實就是所謂的 [hardware efficient quantum circuit](https://arxiv.org/abs/1704.05018) (硬體效率量子電路)，在超導量子位元架構下的量子電腦，每個 qubits 間不是全連接的（Fully connected），而是有特定的幾何形狀，這時候就可以設計最合適的 CNOT 連接狀態在我們的 ansatz中，以最小化 swap gates 的數目，所以在上圖中的這種線性連結，其實就很適合 qubits 也是以線性排列的超導量子電腦使用。而由經驗給出一個初始的 ansatz 後，就像古典機器學習的例子，PQC 也可以利用 [Quantum Architecture Search](https://www.nature.com/articles/s41534-022-00570-y) （QAS）來找出最適合任務的 circuit。眼尖的讀者可能發現了，雖然我們上面提到關於 universal quantum gate set 的事情，但在 QML 實作中，ansatz 不一定會構成完整的 universal quantum gate set，甚至所需的電路深度也比要近似任意 unitary 的要求來的淺很多。這其實是好消息，表示在真實世界的（量子）機器學習任務中，PQC 所構成的 unitary operation，在所有可能的 quantum unitary operation 中只佔據著不那麼複雜的角落。 ## 延伸閱讀 - [比較不同 ansatz 的表現能力](https://arxiv.org/abs/1905.10876)