從幾何的角度，矩陣對向量的作用相當於對向量做旋轉與伸縮
有些特定的矩陣對上特定的向量只有伸縮作用而沒有旋轉
這邊要注意的是，當係數是負時，代表向量指向與原本方向的反方向，你可能會好奇，這不就是 "旋轉"，沒錯，但我們姑且說他是一種"伸縮"。## 數學定義 上述是比較通俗的解釋，數學點的寫法是這樣： 假設存在一個 $n$ 階矩陣 $A$（以上式為例，$n=2$），如果存在純量（常數） $\lambda$ 和 $n$ 維非零向量 $v$，使得 $Av=\lambda v$ ，則稱 $\lambda$ 為矩陣 $A$ 的 eigenvalue， $v$ 為矩陣 $A$ 對應於此特徵值的 eigenvector。
Eigenvalue 與 Eigenvector 的示意圖
接著我們帶入此式 $(A-\lambda I)v=0$ ： \begin{align} (\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}-2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix})v &= \begin{bmatrix} 2-2 & 0 \\ -1 & 2-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ -x_1 \end{bmatrix} \\ &=0 \end{align} 從上式可以得出 $x_1=0$，而 $x_2$ 不管是什麼值都符合上式，因此這矩陣 $A$ 的 eigenvector 為： \begin{gather} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} \end{gather} 其中 c 為常數，完整為： \begin{gather} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix}=2 \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} \end{gather} ## 附錄 1（選讀） 證明當 $H$ 是 Hamiltonian 矩陣，即 $H=H^\dagger$，$Hv=\lambda v$ 中的 $\lambda$ 必定為實數。 先對兩邊取 dagger： \begin{gather} v^{\dagger}H^{\dagger}=\lambda^* v^{\dagger}=v^{\dagger}H \end{gather} 從右邊與 $v$ 做內積： \begin{align} v^{\dagger}Hv&=\lambda^* v^{\dagger}v \\ v^{\dagger}\lambda v&=\\ \lambda v^{\dagger} v&= \end{align} 上式因為 $Hv=\lambda v$，所以右式 $v^{\dagger}(Hv)=v^{\dagger}(\lambda v)$，總結可以得出 \begin{gather} \lambda v^{\dagger} v=\lambda^* v^{\dagger}v \end{gather} $v^{\dagger} v$ 即為向量長度的平方，必為正實數，意味著 $\lambda=\lambda^*$，因此 $\lambda$ 必為實數
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