Eigenvalue 與 Eigenvector 的示意圖
以下是 eigenvector 的性質：
1. $v$（eigenvector）必須是非零的向量
2. 一個矩陣可能有多個 eigenvalue 和對應的 eigenvector
3. 線性獨立的 eigenvector 可以形成向量空間的一組 basis
## 應用
為何這數學工具會這麼重要，值得我們放在數學教學系列中，因為 eigenvector 與 eigenvalue 在量子力學裡到處都可見到，最常見的為：
\begin{gather}
\hat H\Psi=E\Psi
\end{gather}
上式為量子力學（與量子化學）的核心方程式，公式中的 $\hat H$ 可以想成矩陣，表示一個系統的 Hamiltonian（可以想成是總能量），$\Psi$ 是系統的狀態（波函數），$E$ 是系統的能量，其中 $E$ 一定是個數字，或說純量，這公式與上述 $Av=\lambda v$ 不謀而和。
還記得我們在特殊矩陣那篇中特別提到 Hamiltonian matrix，當矩陣 $A$ 是 Hamiltonian 矩陣時（即 $A=A^\dagger$），則 eigenvalue（$\lambda$）必定是實數而非複數（證明放在附錄 1），因為有這樣的性質，在量子力學中，許多[觀測量](https://www.entangletech.tw/lesson/basic-algorithm-17-2)（像是剛剛提到的 $\hat H$）都會用 Hamiltonian 矩陣表示，確保觀測到的東西（像是能量值 $E$）會是實數，與現實中我們對自然的了解會一樣。
## 求解 Eigenvector 和 Eigenvalue
要找到一個矩陣的 eigenvector，我們需要解特徵方程 $det(A-λI)=0$，其中 $det$ 表示行列式，$I$ 是單位矩陣，解出的 $\lambda$ 就是 eigenvalue，一旦找到 eigenvalue，就可以通過解線性方程組 $(A-λI)v=0$ 來找到對應的 eigenvector $v$。以下我們做個範例，比方說矩陣 $A$：
\begin{align}
A= \left[
\ \begin{array}{cc}
2 & 0 \\
-1 & 2 \\
\end{array} \
\right]
\end{align}
代入 $det(A-λI)=0$ 中：
\begin{gather}
det \ ( \ \left[
\ \begin{array}{cc}
2 & 0 \\
-1 & 2 \\
\end{array} \
\right] - \lambda \times \left[
\ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array} \
\right])\ = \ (2-λ)^2 \ =\ 0
\end{gather}
可得出唯一解 $\lambda=2$，此為矩陣 $A$ 的 eigenvalue，接著我們代入 $(A-\lambda I)v=0$ ：
\begin{align}
(\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
-1 & 2
\end{bmatrix}-2
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix})v &=
\begin{bmatrix}
2-2 & 0 \\
-1 & 2-2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
-1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix} \\
&=
\begin{bmatrix}
0 \\
-x_1
\end{bmatrix} \\
&=0
\end{align}
從上式可以得出 $x_1=0$，而 $x_2$ 不管是什麼值都符合上式，因此這矩陣 $A$ 的 eigenvector 為：
\begin{gather}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 \\
c
\end{bmatrix}
\end{gather}
其中 c 為常數，完整為：
\begin{gather}
\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
-1 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
c
\end{bmatrix}=2
\begin{bmatrix}
0 \\
c
\end{bmatrix}
\end{gather}
## 矩陣對角化
不管在量子力學還是量子計算中，我們常常會對 $H$ 做許多計算操作，像是 $e^{-iHt}$ 或是 $\ln{H}$，在小矩陣的時候，這都還能輕易計算，然而當矩陣越來越大時，這計算會非常可觀，這時候，我們就需要將矩陣「對角化」來讓問題簡化，而如何把矩陣對角化，也跟這節在介紹的 eigenvalue 和 eigenvector 有關。
如果今天有個矩陣 $A$：
\begin{align}
Av=\lambda v
\end{align}
那矩陣 $A$ 對應的對角化矩陣 $D$ 為(推導放在文末附錄二)：
\begin{align}
D&=
\begin{bmatrix}
v_1 & v_2 & \cdots v_n
\end{bmatrix}^{-1}
A
\begin{bmatrix}
v_1 & v_2 & \cdots v_n
\end{bmatrix} \\
&=P^{-1}AP
\end{align}
其中 $D=diag[\lambda_1, \lambda_2, \cdots \lambda_n]$。我知道你現在看不太懂，因此我們做個例子，假設矩陣 $A$ 為：
\begin{align}
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
2 & -4 & 2
\end{bmatrix}
\end{align}
你可以輕易地算出他有 3 個 eigenvalue 與 eigenvector：
\begin{align}
\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3 = 1
\end{align}
\begin{align}
v_1=
\begin{bmatrix}
-1 \\
-1 \\
2
\end{bmatrix},
v_2=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix},
v_3=
\begin{bmatrix}
-1 \\
0 \\
2
\end{bmatrix}
\end{align}
那 $P$ 為：
\begin{align}
P =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1\\
-1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\end{align}
有了這些就能算出矩陣 $A$ 對應的對角化矩陣 $D$：
\begin{align}
P^{-1}AP=
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0\\
2 & 0 & 1\\
-1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
2 & -4 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1\\
-1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 2
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}=D
\end{align}
可以發現矩陣 $D$ 上的對角化元素正好是矩陣 $A$ 的 eigenvalue，最有趣的是，矩陣 $D$ 的 eigenvector 剛好是：
\begin{align}
v_1=
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix},
v_2=
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix},
v_3=
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\end{align}
eigenstate 互相線性獨立，互相 [Orthogonal](https://www.entangletech.tw/lesson/math-04)
## 附錄 1（選讀）
證明當 $H$ 是 Hamiltonian 矩陣，即 $H=H^\dagger$，$Hv=\lambda v$ 中的 $\lambda$ 必定為實數。
先對兩邊取 dagger：
\begin{gather}
v^{\dagger}H^{\dagger}=\lambda^* v^{\dagger}=v^{\dagger}H
\end{gather}
從右邊與 $v$ 做內積：
\begin{align}
v^{\dagger}Hv&=\lambda^* v^{\dagger}v \\
v^{\dagger}\lambda v&=\\
\lambda v^{\dagger} v&=
\end{align}
上式因為 $Hv=\lambda v$，所以右式 $v^{\dagger}(Hv)=v^{\dagger}(\lambda v)$，總結可以得出
\begin{gather}
\lambda v^{\dagger} v=\lambda^* v^{\dagger}v
\end{gather}
$v^{\dagger} v$ 即為向量長度的平方，必為正實數，意味著 $\lambda=\lambda^*$，因此 $\lambda$ 必為實數
## 附錄 2（選讀）
證明 $P^{-1}AP=D$，假設矩陣 $A$ 有 $n$ 個 eigenvalue 與 eigenvector，將 eigenvector 組成矩陣 $P$：
\begin{align}
P=
\begin{bmatrix}
v_1 & v_2 & \cdots v_n
\end{bmatrix}
\end{align}
那 $A\times P$ 為：
\begin{align}
AP=
\begin{bmatrix}
Av_1 & Av_2 & \cdots Av_n
\end{bmatrix}
\end{align}
且因為 $Av=\lambda v$，所以上式變成：
\begin{align}
AP=
\begin{bmatrix}
\lambda_1v_1 & \lambda_2v_2 & \cdots \lambda_nv_n
\end{bmatrix}
\end{align}
又可以改寫成：
\begin{align}
=\begin{bmatrix}
v_1 & v_2 \cdots & v_n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
v_1 & v_2 \cdots & v_n
\end{bmatrix}D=PD
\end{align}
於是 $AP=PD$，兩邊右乘 $P$ 的逆矩陣：
\begin{align}
APP^{-1}&=PDP^{-1}\\
A&=PDP^{-1} \\
P^{-1}AP&=D
\end{align}
因為 $PP^{-1}=I$。得證。
