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量子計算入門(上):從位元到量子位元
・第
16
課
測量:讀取計算結果
作者:
林昱誠(Yu-Cheng Lin)
閱讀時間:
5
分鐘
# 測量 在量子計算中,qubit 的量子態處於疊加或糾纏態,過程中我們無法確定每個 qubit 的具體狀態(雖然可以用前面學到的內容推算每個 qubit 的理想狀態,但當 qubits 數量增加時,會越來越難以計算)。只有在計算完成後,對這些 qubits 做「測量」(或說觀測),qubits 的狀態才會出現是 $|0\rangle$ 或是 $|1\rangle$。
測量的符號
例如,考慮以下電路
對初始狀態為 $|0\rangle$ 的 qubit 做 H gate,然後再測量它。在測量前,qubit 處於 $|0\rangle$ 與 $|1\rangle$ 的疊加態: \begin{split} |\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt 2}|1\rangle \end{split} 測量後,我們有 50% 的機率看到 qubit 為 $|0\rangle$,50% 的機率看到 $|1\rangle$。然而,只測量一次的話,只會看到 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$,無法知道測量前 qubit 處於什麼狀態。 因此,我們會對 qubit 做多次測量,例如 1024 次測量,理論上應該有 512 次測量結果是 $|0\rangle$,另外 512 次是 $|1\rangle$。從這樣的統計結果,可以推測 qubit 在測量前處於疊加態,且機率各一半。
理想情況下,對 qubit 做 1024 次測量,結果會有 512 次測量看 0,另外 512 次看到 1
## 在不同 basis 下測量 前面討論的測量是基於 Z-basis,(即熟悉的 $|0\rangle$ 與 $|1\rangle$),對應到 Bloch sphere 北極與南極(Z 軸)。
前面介紹的測量結果都是基於 Z-basis,對應到 Bloch sphere 的 Z 軸
不過,沒有規定測量只能在 Z-basis 上進行,Bloch sphere 上任何對應的兩點都可以,我們稱之為 [basis](https://www.entangletech.tw/lesson/math-03),例如 $|+\rangle$ 與 $|-\rangle$(對應 X 軸),以及 $|i\rangle$ 與 $|-i\rangle$(對應 Y 軸) 都可以是測量的 basis。接下來,我們將探討在不同 basis 下的測量結果。 假設 qubit 處於如下狀態 \begin{split} |\psi\rangle=\frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle+\frac{1}{2}|1\rangle \end{split} 以 Z-basis 做測量,有 $\frac{3}{4}$ 的機率看到 $|0\rangle$,$\frac{1}{4}$ 的機率看到 $|1\rangle$。
例子中的量子態在 Bloch 球上的位置,位於 X 軸上方 30 度
如果改用 $|+\rangle$ 與 $|-\rangle$ 為 basis 做測量(從上圖可以看出,藍點所在位置距離 $|+\rangle$ 比較近,可以預期測量到處於 $|+\rangle$ 的機率會比較高): 我們知道 \begin{split} |0\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|+\rangle+|-\rangle) \\ |1\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|+\rangle-|-\rangle) \end{split} 將其代入剛剛的式子 \begin{split} |\psi\rangle&=\frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle+\frac{1}{2}|1\rangle \\ &=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\sqrt 2}(|+\rangle+|-\rangle)+\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt 2}(|+\rangle-|-\rangle) \\ &=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}|+\rangle+\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt 2}|-\rangle \end{split} 測量後,看到 qubit 為 $|+\rangle$ 的機率為: \begin{split} |\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}|^2=\frac{\sqrt 3+2}{4} \approx 0.93 =93\% \end{split} 看到 $|-\rangle$ 的機率為: \begin{split} |\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}|^2=\frac{-\sqrt 3+2}{4} \approx 0.07 =7\% \end{split} 同理,若以 $|i\rangle$ 與 $|-i\rangle$ 為 basis 測量(從圖中可以看出,藍點所在位置與 $|i\rangle$ 和 $|-i\rangle$ 的距離一樣,預期測量到這兩個結果的機率是相同): 我們知道 \begin{split} |0\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|i\rangle+|-i\rangle) \\ |1\rangle=\frac{-i}{\sqrt 2}(|i\rangle-|-i\rangle) \end{split} 將其帶入剛剛的式子 \begin{split} |\psi\rangle&=\frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle+\frac{1}{2}|1\rangle \\ &=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\sqrt 2}(|i\rangle+|-i\rangle)+\frac{1}{2}\frac{-i}{\sqrt 2}(|i\rangle-|-i\rangle) \\ &=\frac{\sqrt{3}-i}{2\sqrt{2}}|i\rangle+\frac{\sqrt{3}+i}{2\sqrt 2}|-i\rangle \end{split} 測量後,看到 qubit 處於 $|+\rangle$ 的機率是 \begin{split} |\frac{\sqrt{3}-i}{2\sqrt{2}}|^2=\frac{3+1}{4} = 0.5 =50\% \end{split} 看到 $|-\rangle$ 的機率是 \begin{split} |\frac{\sqrt{3}+i}{2\sqrt{2}}|^2=\frac{3+1}{4} = 0.5 =50\% \end{split}
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